Warning: Illegal string offset 'userid' in [path]/includes/functions.php on line 509

Warning: Illegal string offset 'userid' in [path]/includes/functions.php on line 512

Warning: Illegal string offset 'membergroupids' in [path]/includes/functions.php on line 441

Warning: Illegal string offset 'membergroupids' in [path]/includes/functions.php on line 443

Warning: Illegal string offset 'usergroupid' in [path]/includes/functions.php on line 452

Warning: Illegal string offset 'usergroupid' in [path]/includes/functions.php on line 518

Warning: Illegal string offset 'userid' in [path]/includes/functions.php on line 518

Warning: Illegal string offset 'type' in [path]/includes/class_postbit.php(294) : eval()'d code on line 169
معادلات لاپلاس
شما عضو بهترین نیستید, جهت استفاه از امکانات بیشتر ثبت نام کنید.    
بهترین انجمن،انجمن های نرم افزار،بازی ،سخت افزار،موبایل،فیلم،دانلود،ورزشی،علمی،تفریحی  

بازگشت   بهترین انجمن،انجمن های نرم افزار،بازی ،سخت افزار،موبایل،فیلم،دانلود،ورزشی،علمی،تفریحی > علمی > علوم پایه > ریاضیات

ریاضیات بررسي مباحث رياضيات

تبلیغات




ثبت نام سریع
براي استفاده از تمامي امكانات پي سي لردز و دانلود مطالب و شركت كردن در مباحث در كمتر از يك دقيقه ثبت نام نماييد

نام کاربری رمز عبور تكرار رمز عبور ایمیل تکرار ایمیل
Birthday:      
سوال تصادفی
  قوانين انجمن را قبول ميكنم 

ارسال موضوع جدیدپاسخ
 
ابزارهای موضوع نحوه نمایش
قدیمی 01-31-2010, 08:58   #1
homa_a
همکار ریاضی-فیزیک-بالینی
 
homa_a آواتار ها
 
Atomica Champion!
Assault Paintball Champion!
Ace Blackjack Champion!
American Poker II Champion!
Armadillo Cowboy Club Champion!
Armless Invaders Champion!
Alchemy Champion!
Air Strike Champion!
Alpine Escape Champion!
Four Balls Champion!
بازی هوش ! Champion!
Fish Tales Champion!
Poker Champion!
Blackjack Champion!
Crazy Closet Champion!
Stoner Champion!
Explomaniac Champion!
Market Delivery Champion!

تاریخ عضویت: Jan 2010
محل سکونت: ̴̡ı̴̴̡ ̡̡͡|̲̲̲͡͡͡ ̲▫̲͡ ̲̲̲͡͡π̲̲͡͡ ̲̲͡▫̲̲͡͡ |̡̡̡ ̡ ̴̡�
نوشته ها: 5,204
تعداد تشکر (از کاربران دیگر): 9,788
تشکر شده 4,559 بار برای 2,079 ارسال برتر

نمایش مدالها

پیش فرض معادلات لاپلاس

معادلهٔ لاپلاس
معادله‌ای ا‌ست دیفرانسیل با مشتقّات جزئی که از اهمّیّت و کاربرد فراوانی در ریاضیّات، فیزیک، و مهندسی برخوردار است. به عنوان چند نمونه می‌شود به زمینه‌هایی همچون الکترومغناطیس، ستاره‌شناسی، و دینامیک سیّالات اشاره کرد که حلّ این معادله در آن‌ها کاربرد دارد.
در حالات سه بعدی می‌شود آن را به صورت زیر نمایش داد:

تعریف
در فضای سه بعدی مسئله پیدا کردن مقادیر حقیقی تابع φ از متغیرهای x و y و z است مثل

همچنین بدین صورت نوشته می‌شود
یا


کهdiv همان دیورژانس است و grad همان گرادیان، یا

که Δ عملگر لاپلاس است.
جواب‌های معادلهٔ لاپلاس توابع همسازی نامیده می‌شود.
اگر طرف راست، یک تابع سه متغیره (f(x , y , z در نظر گرفته شود، برای مثال
.
این معادله، معادله پواسون نامیده می‌شود. معادلهٔ لاپلاس و پواسون ساده‌ترین مثال‌های معادلات دیفرانسیل جزئی بیضوی‌اند. عملگر دیفرانسیل جزئی یاΔ (که شاید در هر بعدی تعریف شده باشد) عملگر لاپلاس ، لاپلاس نما نامیده می‌شود.

شرایط مرزی


در کل سه نوع شرایط مرزی وجود دارد. دیریکله، نویمان، کوشی.
  • شرط مرزی دیریکله یعنی مقدار خود تابع روی مرز داده شده باشد.(مثل این که مقدار پتانسیل را روی مرزها بدانیم)
  • شرط مرزی نویمان یعنی مشتق عمود بر سطح تابع روی مرزها مشخص باشد .(مثل این که نیروی الکترومغناطیسی را روی مرزها بدانیم)
  • شرط مرزی کوشی به معنی مشخص بودن هم خود تابع و هم مشتق عمود برسطح آن است.
برای معادله لاپلاس شرایط دیریکله یا نویمان کافی است. یعنی با در دست داشتن یکی از شرایط هم مقدار تابع به دست می‌آید و هم مشتق عمود آن و شرط مرزی کوشی برای این معادله اشتباه است.
جواب معادله لاپلاس در داخل مرزها تحلیلی است.اصل برهمنهی در مورد جوابهای این معادله صادق است یعنی هر ترکیب خطی از جوابهای معادله خود نیز جواب معادله است

معادلات لاپلاس در دو بعد
فرم معادلهٔ لاپلاس با دو متغیر مستقل به صورت زیر است:

توابع تحلیلی
قسمت حقیقی و موهومی یک تابع تحلیلی مختلط، هر دو در معادله لاپلاس صدق می‌کند. اگر z مختلط باشد و
:

شرط لازم برای اینکه (f(z تابع تحلیلی باشد این است که معادلهٔ کوشی ریمان را ارضا کند.

این منجر می‌شود به:

بنابراین u در معادلهٔ لاپلاس صدق می‌کند.به همین شکل می‌توان نشان داد که v هم در معادلهٔ لاپلاس صدق می‌کند. و بالعکس با درنظر گرفتن یک تابع همساز، بخش تحلیلی (f(z (حداقل بطور موضعی) است اگر آزمون به فرم

باشد، در صورتی که قرار دهیم :
.
معادله کوشی ـ ریمان ارضا می‌شود.این رابطه ψرا مشخص نمی‌کند بلکه فقط رشد آن را مشخص می‌کند.

معادله لاپلاس برای ψ به طور ضمنی بیان می‌کند که شرایط انتگرال‌پذیری در ψ صدق می‌کند.

و بنا براین ψ را می‌توان با یک انتگرال خط تعریف کرد. شرایط انتگرال‌پذیری و قضیه استوکس نشان می‌دهد که مقدار انتگرال تنها به دو نقطه ابتدایی و انتهایی ارتباط دارد و از مسیر مستقل است.جفت جواب‌های معادله لاپلاس توابع همساز همیوغ نامیده می‌شوند. این نتیجه تنها هنگامی که مسیر دور یک نقطه تکین دور نزند و به طور موضعی مورد قبول است برای مثال اگر r و v مختصات قطبی باشند

یک تابع تحلیلی معادل است با

در هر صورت زاویهٔ θ فقط در ناحیه‌ای که مبدا را محصور نمی‌کند تک مقداری است.
رابطه نزدیک بین معادله لاپلاس و تابع تحلیلی نشان می‌دهد که هر جواب معادله لاپلاس از هر مرتبه‌ای مشتق دارد و حداقل در یک دایره که یک نقطهٔ تکین را محصور نکند می‌تواند به صورت یک سری توانی بسط داده شود. این با جواب معادلهٔ موج کاملاً در تضاد است، که معمولاً نظم کمتری دارد. یک رابطهٔ نزدیک بین سری‌های توانی و سری‌های فوریه وجود دارد. اگر ما یک تابع f را بصورت سری توانی در یک دایره با شعاع R بسط دهیم، این به این معناست که

ضرایب تعریف شده مناسب قسمت های موهومی و حقیقی به این صورت دارند:

بنابر این



که فرمول بالا، یک سری فوریه برای f است.

شارش سیال
فرض کنیم u و v مولفه‌های عمودی و افقی سرعت یک سیال تراکم ناپذیر و غیرچرخشی در فضای دو بعدی باشد. شرط اینکه سیال تراکم‌ناپذیر باشد به این صورت است که

و شرط اینکه سیال غیرچرخشی باشد:

اگر ما دیفرانسیل تابع ψرابه این صورت در نظر بگیریم:

در این صورت شرط تراکم‌ناپذیری، شرط انتگرال‌پذیری برای این دیفرانسیل است. تابع حاصل، تابع جریان نامیده می‌شود، چون که در راستای شارش ثابت است.مشتق اول ψ به صورت زیر داده می‌شود:

و شرط غیرچرخشی بودن اشاره به این دارد که، ψ در معادله‌ لاپلاس صدق می‌کند. تابع همساز φ که همیوغ ψ است، "پتانسیل سرعت" نامیده می‌شود. معادله کوشی ـ ریمان بیان می‌کند که:

بنابراین هر تابع تحلیلی با یک شارش سیال تراکم‌ناپذیر و پایدار و غیرچرخشی در صفحه مرتبط است. بخش حقیقی "پتانسیل سرعت" و بخش موهومی، "تابع جریان" است.

الکترواستاتیک
با توجه به معادله ماکسول، یک میدان الکتریکی (u,v) در فضای دو بعدی که مستقل از زمان است در این معادلات صدق می‌کند:

و

جایی که ρ چگالی بار باشد. اولین معادله ماکسول، شرط انتگرال‌پذیری برای دیفرانسیل زیر است:



پس پتانسیل الکتریکی φ به گونه‌ای ساخته می‌شود که شرایط زیر را ارضا نماید:

دومین معادله ماکسول دلالت دارد بر

که این معادله پواسون است.

معادله لاپلاس در فضای سه بعدی
جواب بنیادی
یک جواب بنیادی معادله لاپلاس، در این رابطه صدق می‌کند:

جایی که تابع دلتای دیراک، نشان دهنده وجود یک واحد منبع در نقطهٔ است.
هیچ تابعی این خاصیت را ندارد، اما می‌توان آن را به عنوان حدی از توابعی که انتگرال آنها در فضا واحد است و پشتیبان(ناحیه‌ای که تابع در آن صفر نیست) آنها به یک نقطه تبدیل شده است، در نظر گرفت.پس تعریف جواب اصلی اشاره دارد بر اینکه اگر از لاپلاسی u بر هر حجمی که نقطهٔ منبع را محصور کند، انتگرال بگیریم، داریم:

معادله‌ لاپلاس تحت یک دوران مختصات ناوردا است و از این رو ما انتظار داریم که که جواب اصلی فقط به فاصلهٔ r از نقطه مبدا بستگی داشته باشد. اگر ما حجم را به صورت کره‌ای با شعاع a حول نقطه منبع انتخاب کنیم، قضیه دیورژانس گاوس بیان می‌ کند که :
ا
ین منجر می‌شود به

روی یک کره به شعاع r حول نقطهٔ منبع است و از این رو

یک استدلال مشابه نشان می‌دهد که در دو بعد این جواب این گونه است:

تابع گرین
یک تابع گرین یک جواب اصلی است که شرایط مناسبی در مرز s ازحجم v را ارضا می‌کند. برای مثال تابع گرین در این معادله صدق می‌کند.

ا

کنون اگر u یکی از جواب‌های معادلهٔ پواسون در v باشد

و فرض می‌کنیم که u مقدار مرزی g روی s باشد.آنگاه ما فرمول گرین (یک نتیجه از قضیه دیورژانس) را بکار می‌بریم، که بیان می‌کند:


علائم un و Gn نشان‌دهنده مشتق نرمال بر s هستند. با در نظر گرفتن شرایط ارضا شده توسط U و G ،این نتیجه به این رابطه ساده می‌شود:

بنابراین تابع گرین تأثیر داده‌های f و g را در نقطه توضیح می‌دهد. در مورد داخل کره‌ای با شعاع a تابع گرین به‌وسیلهٔ انعکاس، پیدا می‌شود. نقطه منبع p که در فاصله ρ از مبدا کره قرار دارد در طول خط واصل این دونقطه، به یک نقطه 'p که در فاصله زیر قرار دارد، انعکاس پیدا می‌کند:

توجه کنید که اگر p در داخل کره باشد 'p در خارج کره خواهد بود. تابع گرین به این صورت داده می‌شود.

جایی که R فاصله تا نقطهٔ منبع p و 'R فاصله تا نقطه انعکاسی 'p را نشان می‌دهد. یک نتیجه از این عبارت برای تابع گرین، فرمول انتگرال پواسون است. فرض کنیم ρ و θ و φ مختصات کروی برای نقطه منبع p باشند. در اینجا θ نشان‌دهنده زاویه‌ با محور عمودی است، که در تضاد با نشانه گذاری ریاضی آمریکایی معمولی است، اما با استاندارد اروپا و روال فیزیکی منطبق است. جواب معادله‌ لاپلاس درون کره برابر است با


جایی که:

یک نتیجه ساده از این فرمول این است که اگر u یک تابع همساز باشد، مقدار u در مرکز کره برابر مقدار میانگین مقدارهای آن بر سطح کره است. این خاصیت مقدار میانگین فوراً نشان می‌دهد که یک تابع همساز غیر ثابت نمی‌تواند مقدار ماکزیمم خود را در یک نقطهٔ داخلی بگیرد.

امضای homa_a
گيرم که باخته ام!!اما کسي جرات ندارد به من دست بزند يا از صفحه بازي بيرونم بيندازد، شوخي نيست من شاه شطرنجم!!
تخريب مي کنم آنچه را که نمي توانم باب ميلم بسازم
لزومي ندارد من هماني باشم که تو فکر مي کني ، من هماني ام که حتي فکرش را هم نمي تواني بکني..
لبخند مي زنم و او فکر ميکند بازي را برده ، هرگز نمي فهمد با هر کسي رقابت نمي کنم..
درگير من نشو، همـدم نميشوم
من مسئول حرفها و رفتارهايم هستم، اما مسئول برداشت شما از آنها نيستم


ویرایش توسط homa_a : 01-31-2010 در ساعت 09:14
homa_a آنلاین نیست.   پاسخ با نقل قول

تبلیغات P30lords

ارسال موضوع جدیدپاسخ

علاقه مندی ها (Bookmarks)


کاربران در حال دیدن موضوع: 1 نفر (0 عضو و 1 مهمان)
 
ابزارهای موضوع
نحوه نمایش

مجوز های ارسال و ویرایش
شما نمیتوانید موضوع جدیدی ارسال کنید
شما امکان ارسال پاسخ را ندارید
شما نمیتوانید فایل پیوست در پست خود ضمیمه کنید
شما نمیتوانید پست های خود را ویرایش کنید

BB code هست فعال
شکلک ها فعال است
کد [IMG] فعال است
کد HTML غیر فعال است
انتخاب سریع یک انجمن

موضوعات مشابه
موضوع نویسنده موضوع انجمن پاسخ ها آخرين نوشته
لاپلاس که بود؟ homa_a ریاضیات 0 01-31-2010 08:48
رشد علمي ايران معادلات سياسي جهان را بر‌هم زده است PARISA آرشیو اخبار قدیمی 0 08-01-2008 21:43
راه حل معادلات درجه سوم Mohsen ریاضیات 4 06-22-2008 22:32
احمدي نژاد : ايثارگران امروز همه معادلات جهان را به نفع انديشه امامت بر هم زده اند MAHDI_AK47 آرشیو اخبار قدیمی 0 04-18-2008 03:26
زندگی نامه انتگرال bb ریاضیات 0 12-11-2007 22:37


اکنون ساعت 10:43 برپایه ساعت جهانی (GMT - گرینویچ) +4.5 می باشد.


Powered by vBulletin Version 3.8.4
Copyright ©2000 - 2014, Jelsoft Enterprises Ltd

تمامی فعالیت های انجمن های این سایت تابع نظام مقدس جمهوری اسلامی ایران میباشد و نشر مطالب آن منوط به اجازه از مدیران سایت یا ذکر لینک مستقیم منبع می باشد .
بهترین , بهترین انجمن های گفتگو ,behtarin